Как решить: Пять шаров случайным образом распределяются по пяти ящикам?

Распределение пяти шаров по пяти ящикам — это классическая задача на перебор всех возможных вариантов распределения объектов. Важно понимать, что каждый шар можно поместить в любой из пяти ящиков, и шары могут располагаться в одном или разных ящиках. Проблему можно решить, используя принцип комбинаторики.

1. Определение ситуации

У нас есть пять шаров и пять ящиков. Каждый шар можно поместить в любой из пяти ящиков. Предположим, что мы считаем, что шары не идентичны (или что мы различаем шары по какому-либо признаку).

2. Решение с учетом различимости шаров

Если шары различны, то для каждого шара есть пять возможных ящиков, в которые его можно поместить. Поскольку для каждого шара существует 5 вариантов, общее количество способов распределить шары будет:

5×5×5×5×5=555 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 = 5^55×5×5×5×5=55

Таким образом, общее количество способов распределить пять различных шаров по пяти ящикам составляет 55=31255^5 = 312555=3125.

3. Решение с учетом одинаковости шаров

Если шары одинаковы, то ситуация меняется. В этом случае нас интересует количество различных способов, которыми шары могут быть распределены между ящиками, независимо от того, в каком порядке они распределяются. Мы должны рассмотреть задачу как задачу на разбиение числа на сумму.

Здесь задача сводится к нахождению количества решений уравнения:

x1+x2+x3+x4+x5=5x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 = 5x1​+x2​+x3​+x4​+x5​=5

где xix_ixi​ — количество шаров в $i$-м ящике, и все xi≥0x_i \geq 0xi​≥0. Это типичная задача на разбиение с повторениями, которая решается с помощью формулы сочетаний с повторениями:

(n+k−1k−1)\binom{n + k — 1}{k — 1}(k−1n+k−1​)

где $n$ — это количество шаров, а $k$ — количество ящиков. В нашем случае $n=5$, $k=5$, и, следовательно, количество способов распределить одинаковые шары по ящикам будет:

(5+5−15−1)=(94)\binom{5 + 5 — 1}{5 — 1} = \binom{9}{4}(5−15+5−1​)=(49​)

Вычислим это:

(94)=9×8×7×64×3×2×1=126\binom{9}{4} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126(49​)=4×3×2×19×8×7×6​=126

Таким образом, если шары одинаковы, то существует 126 способов распределить их по пяти ящикам.

4. Применение к разным ситуациям

В зависимости от того, различны ли шары или одинаковы, вы можете выбрать соответствующую модель для решения задачи:

• Для различных шаров количество способов распределить их по пяти ящикам равно 55=31255^5 = 312555=3125.
• Для одинаковых шаров количество способов распределить их по пяти ящикам равно $126$.